Teorema: Rectas paralelas y una secante

 Rectas paralelas cortadas por una secante

Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal

Teorema 1 

En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales

2 .Los ángulos alternos son iguales

3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Teorema 2

 En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,

2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien

3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,

para que esas dos rectas sean paralelas.

Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 2 implica los incisos

 1,2 y 3 del teorema 1

Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues

 se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.

Teorema 3

 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC

que pase por A.

Sabemos que ÐD + ÐA + ÐE = 180°.Por lo tanto tenemos ÐD=РB por ser ángulos alternos internos,

 y por la misma razónÐE= ÐC.

Sustituyendo los valores deРD y Ð E en la primera igualdad obtendremos el resultado.

 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.

En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le

son adyacentes

, es decir que le son opuestos.

Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.

Por el teorema (1.2.3) Ð A + ÐB + ÐC = 180°; y como ÐE + ÐB = 180°, entonces ÐE= AÐ+ ÐC.

 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo,

 es igual a 360°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.

Sean los ángulos exteriores ÐD, ÐE y ÐF. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes

 identidades:

ÐD = ÐB+ÐC,

ÐE = ÐA+ÐC,

ÐF = ÐA +ÐB,

de esta manera

ÐD + ÐE+ ÐF= 2(ÐA + ÐB+ ÐC)= 2(180°).

Por lo tanto

ÐD + ÐE+ ÐF= 360°.