Teorema de Pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS

	En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Problemas:

1) Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades? 

2) Una escalera cuya longitud es de 3 metros  se encuentra apoyada contra una pared en el suelo horizontal y alcanza 2,8 m sobre esa pared vertical. La pregunta es: ¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?

3) Una cáncha de fútbol (rectangular como sabemos)  mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo de juego?

Soluciones

1) Lo primero es realizar un pequeño dibujo que nos permita identificar la situación y ver cómo definimos un triángulo rectángulo en la misma.

Este podría ser un buen dibujo, donde observamos que se cumplen los datos que nos da el problema y que además la distancia real entre las ciudades, vendría a ser la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo.

El triángulo entonces queda claramente definido y sabemos que tenemos un cateto que mide 17 km, otro que mide 8 km y que la distancia real que se nos está pidiendo es la hipotenusa del tal triángulo. Aplicamos Teorema de Pitágoras y el planteo sería así:

a2 = b2 + c2
a2 = 82 + 172 = 64 + 289 = 353
 a = √353 = 18.8

Respuesta final: la distancia real entre las dos ciudades es de 18,8 km

2)

En este caso, el dibujo que podemos hacer para interpretar la letra del problema sería algo como esto, donde nuevamente se identifica sin problemas el triángulo rectángulo.

Queda claro que la escalera cumple el rol de la hipotenusa, la altura de la pared (dato conocido) es uno de los catetos y la distancia del pie de la escalera hasta la base de la pared, es el otro cateto, precisamente la medida que se nos pide calcular y que como es una incógnita para nosotros hemos llamado “x”.

El planteo de resolución en este caso podría ser el siguiente:

a2 = b2 + c2
32 = b2 + 2.82 
 9 =  b2 + 7.84
b2 = 9 – 7.84 = 1.16
b = √1.16 = 1.08

Respuesta final: el pie de la escalera está a 1,08 mt de la pared.

3) Primer paso: la figura que ayuda a comprender

 Analizando la figura, vemos que el triángulo queda comprendido por esa diagonal del campo de juego (la hipotenusa), el largo del campo (uno de los catetos) y el ancho (el otro cateto cuya longitud es  lo que se nos pide hallar). El planteo de resolución sería el siguiente:

 a2         =  b2 + c2
1502     = 1252 + c2 
22,500  = 15,625 + c2 
         c2 = 22,500 – 15,625 = 6,875
         c  = √6,875

          c = 82.9

Respuesta final: el ancho del campo de fútbol es de 82,9 metros

Bibliografia: http://matematicasmodernas.com/problemas-resueltos-aplicando-teorema-de-pitagoras/#sthash.HOgTBxmw.dpuf

Teorema de Tales de Mileto

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

Sabiendo esta formula podemos resolver algunos problemas

Observando la escalera que aparece en el dibujo calcula la longitud de la cuerda que une los peldaños de la escalera con su parte posterior.

La solución aplicando el teorema sería:

¿Cuál es la altura del montón de libros situado sobre el césped?

Si llamamos x a la altura de los libros aplicando el teorema de Thales,

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Todos sus lados son proporcionales

Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:

Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2
Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2
Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2

b) Tienen los tres ángulos iguales

Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.

c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales

Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales.

Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2
Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2

d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales

En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.
Por lo tanto los tres ángulos son iguales, que ya vimos antes que era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.

b) Tienen los dos lados catetos proporcionales

Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2
Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2

Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.

c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales

Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33
Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33

Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.

Calculamos su proporción:

Lado C / Lado C’ = 6,928 / 5,196 = 1,33

Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.




 Bibliográfica: http://www.aulafacil.com/Matematicas_2ESO/Curso/Lecc-22.htm

Congruencia de Triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

 Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

• Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
• Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
• Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Ángulos internos y externos de un triángulo

Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.

En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β  y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.

En la figura, α + β = 90º

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos opuestos,

En la figura, β = α + ε

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.

En la figura,

β > (es mayor que) α

β > (es mayor que) e

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.

En la figura, α + β + γ = 360º

Teorema: Rectas paralelas y una secante

 Rectas paralelas cortadas por una secante

Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal

Teorema 1 

En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales

2 .Los ángulos alternos son iguales

3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Teorema 2

 En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,

2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien

3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,

para que esas dos rectas sean paralelas.

Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 2 implica los incisos

 1,2 y 3 del teorema 1

Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues

 se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.

Teorema 3

 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC

que pase por A.

Sabemos que ÐD + ÐA + ÐE = 180°.Por lo tanto tenemos ÐD=РB por ser ángulos alternos internos,

 y por la misma razónÐE= ÐC.

Sustituyendo los valores deРD y Ð E en la primera igualdad obtendremos el resultado.

 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.

En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le

son adyacentes

, es decir que le son opuestos.

Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.

Por el teorema (1.2.3) Ð A + ÐB + ÐC = 180°; y como ÐE + ÐB = 180°, entonces ÐE= AÐ+ ÐC.

 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo,

 es igual a 360°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.

Sean los ángulos exteriores ÐD, ÐE y ÐF. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes

 identidades:

ÐD = ÐB+ÐC,

ÐE = ÐA+ÐC,

ÐF = ÐA +ÐB,

de esta manera

ÐD + ÐE+ ÐF= 2(ÐA + ÐB+ ÐC)= 2(180°).

Por lo tanto

ÐD + ÐE+ ÐF= 360°.

Teroerma: Pares de Ángulos

ÁNGULOS ADYACENTES

Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto (90º)

.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos (180°)

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

Bibliografía

https://sites.google.com/site/geometriaytrigonometria7225/home/modulo-1/clasificacion-de-angulos/clasificacion-por-pares-de-angulos